Ein Casino bietet zwei Münzspiele an, die für sich genommen langfristig Geld kosten. Bei Spiel A fällt der Einsatz im Mittel um 2 Cent pro Runde, bei Spiel B um knapp 1 Cent. Werden beide Spiele zufällig gemischt, steht im Mittel plötzlich ein Gewinn von rund 2,8 Cent je Runde. Parrondos Paradoxon beschreibt genau diesen scheinbaren Widerspruch, doch der Gewinn entsteht nicht aus Magie, sondern aus der Art, wie die Verluste miteinander gekoppelt sind.
Im Jahr 1996 stellte der Physiker Juan M. R. Parrondo von der Universidad Complutense de Madrid auf einem Workshop in Turin ein Gedankenexperiment vor, dessen Titel schon verriet, worum es ging: „How to cheat a bad mathematician“, also wie man einen schlechten Mathematiker hereinlegt. Der Vortrag blieb unveröffentlicht, und erst drei Jahre später machten zwei Forscher aus Australien die Idee weltweit bekannt. Parrondos Paradoxon ist deshalb weniger ein Trick mit Münzen als ein Muster für Systeme, deren Verhalten sich beim Umschalten grundlegend verändert.
Die Grundidee lässt sich schon außerhalb des Casinos sehen. Zwei Prozesse können einzeln in eine ungünstige Richtung führen, weil jeder von ihnen bestimmte Zustände bevorzugt und andere blockiert. Wird zwischen beiden gewechselt, kann der eine Prozess genau die Zustände auflösen, in denen der andere festhängt. Der Wechsel verändert also nicht einfach den Mittelwert zweier schlechter Regeln, sondern verschiebt die Häufigkeit der Zustände, in denen diese Regeln angewendet werden.
Bakteriophagen sind Viren, die Bakterien befallen und dabei zwei grundsätzlich verschiedene Wege nutzen. Bei der Lyse schleust ein Phage sein Erbgut in die Wirtszelle ein, lässt dort neue Viruspartikel produzieren und zerstört die Zelle schließlich. Bei der Lysogenie wird die virale DNA dagegen in das Bakterienerbgut eingebaut, sodass die Zelle weiterlebt und das Virusmaterial bei ihrer Teilung mitkopiert.
Im vereinfachten Modell hat auch jede Strategie für sich ein Problem. Reine Lysogenie erzeugt keine freien Phagen, und die virale DNA kann mit der Zeit aus der Bakterienpopulation verschwinden. Reine Lyse kann die Phagenzahl dagegen zunächst stark erhöhen, vernichtet aber zugleich die Wirte, auf die weitere Vermehrung angewiesen ist.
Ein populationsbiologisches Modell von Kang Hao Cheong, Tao Wen, Sean Benler, Jin Ming Koh und Eugene V. Koonin zeigte einen Parrondo-Effekt in genau diesem Wechsel. Eine Phagenlinie, die bei reiner Lyse und bei reiner Lysogenie jeweils gegen einen Konkurrenten benachteiligt war, konnte durch einen geeigneten Wechsel zwischen beiden Strategien gewinnen. Die Autoren folgerten aus dem Modell, dass die Evolution eher das Verhältnis von Lyse und Lysogenie optimieren kann als nur die Zahl neuer Phagen pro zerstörter Zelle. Die Modellierung ist nachzulesen unter PNAS.
Gregory P. Harmer und Derek Abbott von der University of Adelaide beschrieben die Spiele im Dezember 1999 in einer kurzen Mitteilung als Kombination zweier Verlustspiele und gaben dem Effekt damit den Namen Parrondos Paradoxon. Ihre Arbeit ist nachzulesen unter Nature.
Spiel B unterscheidet sich von zwei gewöhnlichen unfairen Münzen dadurch, dass die Gewinnchance davon abhängt, wie viel Kapital gerade vorhanden ist. Diese Rückkopplung zwischen Kontostand und Münze macht aus einer Reihe einzelner Würfe eine Markow-Kette, also einen Prozess, dessen nächste Wahrscheinlichkeiten vom aktuellen Zustand abhängen.
In der vereinfachten Version aus dem Video gewinnt Spiel A mit einer Wahrscheinlichkeit von 49 Prozent und verliert entsprechend mit 51 Prozent. Jede Runde verändert das Kapital um genau 1 Euro nach oben oder unten. Auf lange Sicht verliert der Spieler damit im Mittel 2 Cent pro Runde, auch wenn einzelne Spielverläufe wegen der zufälligen Münzwürfe deutlich davon abweichen können.
Spiel B verwendet zwei Münzen, und welche geworfen wird, entscheidet der Kontostand: Ist das Kapital durch 3 teilbar, also etwa bei 0, 3 oder 6 Euro, gewinnt die schlechte Münze nur mit 5 Prozent Wahrscheinlichkeit. In allen anderen Zuständen gewinnt die gute Münze mit 80 Prozent. Intuitiv wirkt das sehr vorteilhaft, weil die gute Münze häufiger erscheint. Tatsächlich verschiebt sich die stationäre Verteilung der Zustände so, dass die schlechte Münze oft genug zum Einsatz kommt und Spiel B zum Verlustspiel macht.
Anschaulich wirkt jedes Vielfache von 3 wie eine Tür im Zahlenraum, denn die guten Münzwürfe bewegen das Kapital häufig bis unmittelbar vor ein Vielfaches von 3. Dort blockiert die schlechte Münze den weiteren Aufstieg besonders oft und drückt den Spieler zurück. Von der anderen Seite derselben Schwelle wirkt der Mechanismus wie eine Falltür, weil Verluste den Kontostand wieder in einen ungünstigen Zustand bringen können.
Wird vor jeder Runde zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen Spiel A und Spiel B gewählt, verändert sich diese Zustandsverteilung. Die fast faire Münze aus Spiel A hilft häufiger über die problematischen Vielfachen von 3 hinweg, während sie die günstigen Zustände von Spiel B nur teilweise abschwächt. Das Video simuliert das über 1.000 Runden: Beide Einzelspiele verlieren, die Mischung gewinnt, und rechnerisch ergibt sich im Durchschnitt etwa ein Minus von 20 Euro für Spiel A, von 9 Euro für Spiel B und ein Plus von 28 Euro für das zufällige Wechseln.
Harmer und Abbott verwendeten im Original einen etwas anderen Parametersatz. Für Spiel A setzten sie ε = 0,005 und damit eine Gewinnchance von 49,5 Prozent. In Spiel B lag p2 bei 9,5 Prozent, wenn das Kapital durch M = 3 teilbar war, während p3 sonst 74,5 Prozent betrug. Die Markow-Nachrechnung ergibt für beide B-Parametersätze rund 0,87 Cent Verlust pro Runde. Mit den Originalwerten verliert Spiel A im Mittel 1 Cent pro Runde, während zufälliges Mischen etwa 1,6 Cent je Runde gewinnt.
Den Grund zeigt die stationäre Verteilung, also die Häufigkeit, mit der jeder Kontostand auf lange Sicht vorkommt: In Spiel B kommt die schlechte Münze nicht nur in einem Drittel der Runden zum Einsatz, sondern in rund 38 Prozent. Genau diese Häufung macht Spiel B trotz seiner starken zweiten Münze zum Verlustspiel. In der Simulation der Nature-Arbeit gewinnen sowohl ein periodisches Muster AABB als auch eine zufällige Mischung im Mittel über 50.000 Durchläufe mit jeweils 100 Spielen.
Reale Casinos bieten eine solche Kombination nicht als systematischen Vorteil an. Zwei gewöhnliche, voneinander unabhängige Verlustmünzen erzeugen das Paradoxon ebenfalls nicht, weil die nötige Kopplung an den Zustand fehlt. Wie Spielanbieter Wahrscheinlichkeiten und Wahrnehmung miteinander verbinden, behandelt auch der Beitrag über psychologische Tricks in Casinos.
Das Börsenbeispiel überträgt dieselbe Logik auf zwei stark schwankende Anlagen mit leicht negativem langfristigem Trend. Beide Kurse können einzeln fallen und zugleich phasenweise gegeneinander laufen. Wird das Kapital zu gleichen Teilen auf beide verteilt und regelmäßig wieder auf je die Hälfte zurückgesetzt, verkauft das Portfolio automatisch einen Teil des zuletzt gestiegenen Werts und kauft vom zuletzt gefallenen nach.
Dieses Verfahren heißt Rebalancing. In der Simulation des Videos sinkt ein einfaches Kaufen-und-Halten der beiden Anlagen, während das ständig ausbalancierte Portfolio wächst. Dafür wird häufig der Begriff Volatilitätsernte verwendet, weil die Umschichtungen aus Schwankungen einen zusätzlichen Wachstumseffekt ziehen können. Parrondo, Harmer und Abbott nannten im Jahr 2000 in Physical Review Letters ausdrücklich Finanzmodelle, in denen Kapital wächst, obwohl es in eine Anlage mit negativer typischer Wachstumsrate fließt, als verwandtes Phänomen.
Robert Fernholz und Brian Shay beschrieben für kontinuierlich neu gewichtete Portfolios den Begriff „excess growth“. In ihrem einfachen Modell kann ein ausgewogenes Portfolio schneller wachsen als jede seiner Komponenten. Bei einer Mischung aus einer riskanten Anlage und einer sicheren Anlage wird der zusätzliche Wachstumsterm bei hälftiger Aufteilung maximal und beträgt σ²/8. Die Herleitung ist nachzulesen unter Journal of Finance.
Das vereinfachte Börsenbeispiel ist keine Anlageberatung und kein Versprechen für reale Depots. Transaktionskosten, Steuern, unregelmäßige Schwankungen und länger anhaltende Trends können den rechnerischen Vorteil verkleinern oder vollständig aufzehren. Besonders wichtig ist, dass sich die Anlagen ausreichend relativ zueinander bewegen. Fallen beide dauerhaft fast gleich, gibt es wenig zu verkaufen und nachzukaufen, sodass das Rebalancing kaum zusätzliche Wachstumswirkung entfalten kann.
Anschaulich macht das Video den Mechanismus mit zwei abwärts fahrenden Rolltreppen, von denen eine langsam und die andere schneller sinkt. Auf der einen gerät eine Kugel in eine Falle, auf der anderen bewegt sie sich zwar ebenfalls nach unten, aber an einer anderen Stelle. Werden beide Bewegungsmuster passend übereinandergelegt, kann ein Wechsel die Kugel aus der jeweiligen Falle lösen und die Aufwärtsbewegung des anderen Zustands auffangen. Dieses Bild ist nur eine Veranschaulichung, keine mathematische Herleitung.
Physikalisches Vorbild ist die Brownsche Ratsche, deren geblitzte Variante bereits Anfang der 1990er-Jahre beschrieben wurde. Ein zufällig zitterndes Teilchen auf einer flachen Fläche besitzt keine bevorzugte Richtung, während es auf einem asymmetrischen Sägezahnprofil in einem Tal festgehalten werden kann. Wird das asymmetrische Potential wiederholt ein- und ausgeschaltet, kann daraus eine gerichtete Drift entstehen. Harmer und Abbott beschrieben ihre Spiele deshalb als „flashing ratchet“, weshalb auch die Bezeichnung Parrondo-Ratsche verwendet wird.
Ein biologisches System mit ähnlich anschaulichem Wechsel ist Kinesin, ein Motorprotein, das Fracht entlang von Mikrotubuli transportiert. Es besitzt zwei Köpfe, die abwechselnd an die Schiene binden, während die chemische Energie aus ATP den Bewegungszyklus antreibt. Ein Team um die Biophysiker Ahmet Yildiz und Paul Selvin von der University of Illinois maß 2004 einen Schwerpunkt-Schritt von 8,3 Nanometern pro verbrauchtem ATP.
Jeder einzelne Kinesin-Kopf bewegte sich dabei im Mittel um 17,3 plus oder minus 3,3 Nanometer und blieb beim jeweils nächsten Teilschritt stehen. Dieses Muster stützt den „hand-over-hand“-Mechanismus, bei dem die beiden Köpfe abwechselnd vorne liegen. Die Messung ist nachzulesen unter Science. Die Verbindung zu zufälligem Zittern und asymmetrischen Potentialen ist eine starke Vereinfachung, denn Kinesin wurde damit nicht als reales Parrondo-Spiel nachgewiesen.
Ob Phage, Aktie, Molekül oder Münze: Keines dieser Systeme findet allein einen Weg nach oben, und erst der Wechsel macht aus der Schwäche des einen die Stütze des anderen, ein Trick, den nach der Deutung des Videos auch die Evolution längst nutzt. Wie weit das Prinzip reicht, zeigte die Erweiterung von Parrondo, Harmer und Abbott aus dem Jahr 2000, in der die Regeln gar nicht mehr vom Kontostand abhängen, sondern allein von den Ergebnissen der letzten Runden, wodurch deutlich mehr Kombinationen paradox gewinnen.
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