Fünf Würfel mit je 60 Seiten tragen zusammen die Zahlen 1 bis 300, jede genau einmal. Wer davon einen greift und wirft, hat exakt dieselbe Chance auf die höchste Zahl, gleichgültig ob zwei, drei, vier oder fünf Spieler antreten. Gleichstände sind ausgeschlossen, ein zweiter Wurf entfällt. Bis zu dieser Lösung vergingen 15 Jahre, ausgelöst von einer Frage beim Abendessen auf einem Spielekongress.
Wer ein Brettspiel beginnt, klärt die Reihenfolge meist mit einem Würfel, und fast immer ist diese Entscheidung unsauber. Würfeln alle Beteiligten mit identischen sechsseitigen Würfeln, treten Gleichstände auf, und es muss nachgeworfen werden. Wer dabei wie oft nachwirft, verzerrt über mehrere Partien hinweg die Chancen, außerdem entscheidet der zweite Wurf oft nur noch zwischen zwei Personen statt zwischen allen. Der Spieleautor James Ernest, Gründer des Verlags Cheapass Games, stellte deshalb um das Jahr 2010 herum auf einem Spielekongress seinem Freund Eric Harshbarger eine einfach klingende Frage: Lässt sich ein Satz Würfel entwerfen, bei dem jeder Spieler einen nimmt, genau einmal wirft und exakt dieselbe Gewinnchance hat? Keine Gleichstände, keine Wiederholung.
Harshbarger, heute Dozent für Mathematik an der Auburn University in Alabama, hatte an jenem Abend keine Antwort. Der leichte Teil der Aufgabe ist rasch erledigt: Gleichstände verschwinden, sobald auf allen Würfeln des Satzes ausschließlich verschiedene Zahlen stehen, denn dann kann kein Wert zweimal fallen. Schwierig ist die Verteilung dieser Zahlen auf die einzelnen Körper. Sie muss nicht nur bei voller Besetzung Gleichheit herstellen, sondern auch dann, wenn nur ein Teil der Würfel im Spiel ist. Sitzen drei Personen am Tisch und greifen drei beliebige Würfel des Satzes, muss auch zwischen diesen dreien exakte Chancengleichheit herrschen, und zwar für jede mögliche Auswahl. Diese zweite Bedingung macht die Aufgabe, die in der Fachwelt als Go First Dice bekannt wurde, außerordentlich hart.
Die ersten Erfolge kamen vergleichsweise schnell. Der Mathematiker Robert Ford fand bereits 2010 einen Satz aus drei gewöhnlichen sechsseitigen Würfeln sowie einen Satz aus vier zwölfseitigen Würfeln, auf die sich die Zahlen 1 bis 48 verteilen. Harshbarger steuerte alternative Anordnungen für gemischte Würfelsätze bei, die mit unterschiedlich vielen Seiten arbeiten. Bei der Analyse zeigte sich ein Nebenergebnis, das die Sätze deutlich nützlicher macht, als die ursprüngliche Frage verlangte: Sie bestimmen nicht nur fair, wer beginnt, sondern legen die vollständige Rangfolge aller Spieler fest, weil jede mögliche Reihenfolge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt. Ein einziger Wurf ersetzt damit die gesamte Auslosung. Für bis zu vier Spieler war das Problem gelöst, und es sah zunächst nach reiner Rechenzeit aus, den fünften hinzuzunehmen.
Das erwies sich als Irrtum. Der Lösungsraum für einen Satz für fünf Spieler umfasst nach Harshbargers Angaben mehr als zehn hoch 128 Kombinationen, also eine Zahl mit 129 Stellen. Zum Vergleich: Die Zahl der Atome im beobachtbaren Universum wird auf etwa zehn hoch 80 geschätzt. Ein vollständiges Durchprobieren aller Anordnungen scheidet damit grundsätzlich aus, gleichgültig wie schnell die eingesetzten Rechner arbeiten. Für bis zu vier Würfel ließ sich die optimale Lösung dagegen durch systematisches Ausschöpfen beweisen, wie die von Harshbarger gepflegte Sammlung zu diesen Würfelsätzen dokumentiert, in der die Zahlenverteilungen für drei und vier Würfel vollständig aufgeführt sind.
Der Durchbruch für den Fünferfall kam 2023. In der Fachzeitschrift Recreational Mathematics Magazine legten James Grime und Brian Pollock gleich zwei Lösungen vor, die in der Arbeit zu Würfelsätzen für fünf und mehr Spieler im Detail beschrieben sind. Die erste beruht auf einer als binär bezeichneten Struktur und führt zu fünf Würfeln mit je 60 Seiten, auf die sich die Zahlen 1 bis 300 verteilen, wobei jede Platzierung für jeden Spieler gleich wahrscheinlich ist. Die zweite ist eine schrittweise Konstruktion mit gemischten Körpern, nämlich einem 36-seitigen, zwei 48-seitigen, einem 54-seitigen und einem 20-seitigen Würfel. Ein Sechzigflächner ist dabei kein beliebiger Körper, sondern ein Hexakontaeder, dessen Flächen aus geometrischen Gründen gleichwertig sind.
Zur Würdigung der Arbeit fertigte Harshbarger fünf übergroße hölzerne Nachbildungen dieser Körper an, jede aus einer anderen Holzart. Sie stehen dauerhaft im neuen Gebäude für Mathematik und Naturwissenschaften der Auburn University und sind damit eher Denkmal als Spielgerät, denn jedes Stück wiegt mehr als vierzig Kilogramm und misst gut einen Meter im Durchmesser. Im Handel sind die Sätze längst erhältlich, sowohl die vierteilige Variante mit zwölfseitigen Würfeln als auch eine fünfteilige aus Sechzigflächnern. Bemerkenswert an der gesamten Geschichte ist, dass an ihr über 15 Jahre hinweg ein loses Netz von Beteiligten arbeitete, ohne Projektstruktur, ohne Förderung und ohne institutionellen Auftrag, getrieben allein von der Frage eines Spieleautors.
Der praktische Nutzen am Spieltisch ist überschaubar, die dahinterliegende Fragestellung ist es nicht. Sie gehört zur kombinatorischen Optimierung, also zu jenem Gebiet, das in riesigen, aber endlichen Möglichkeitsräumen nach der besten Anordnung sucht. Dieselbe Struktur steckt hinter Dienstplänen, hinter der Vergabe von Funkfrequenzen und hinter der Verteilung von Aufträgen auf Maschinen. Auch der Begriff der Fairness wird hier präziser gefasst, als es der Alltag verlangt: Ein Verfahren kann im Mittel fair sein und in Teilgruppen dennoch systematisch bevorzugen, ein Muster, das bei Losverfahren und Zuteilungen regelmäßig auftritt. Dass die Lösung 15 Jahre brauchte, zeigt vor allem, wie schnell scheinbar harmlose Zusatzbedingungen einen Suchraum aufblähen, der sich nicht mehr durchrechnen lässt.
Recreational Mathematics Magazine, Go First Dice for Five Players and Beyond; doi:10.2478/rmm-2023-0004