Die Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 tauchen in einem Rechenbuch aus dem Jahr 1202 auf, in einer Aufgabe darüber, wie schnell sich Kaninchen vermehren. Dieselben Zahlen finden sich in den Spiralen einer Sonnenblume, den Schuppen eines Tannenzapfens und der Anordnung von Blättern an einem Stängel. Die Fibonacci-Folge verbindet ein Buch aus Pisa mit den Wachstumsregeln der Pflanzen. Das Buch hatte noch eine zweite Wirkung: Es brachte die Ziffern nach Europa, mit denen heute die Welt rechnet.
Leonardo von Pisa, den die Nachwelt Fibonacci nennt, Sohn des Bonaccio, wuchs im späten 12. Jahrhundert in Bugia im heutigen Algerien auf, wo sein Vater die Handelsniederlassung der Republik Pisa vertrat. Dort lernte er von arabischen Lehrern eine Art zu rechnen, die in Europa unbekannt war: mit neun indischen Ziffern und der Null in einem Stellenwertsystem, in dem der Platz einer Ziffer ihren Wert bestimmt. Wer damals in Pisa oder Florenz Buch führte, tat das mit römischen Zahlen und einem Rechenbrett. Multiplikation und Division waren Sache von Spezialisten. Leonardo reiste als Kaufmann durch Ägypten, Syrien, Griechenland und Sizilien, sammelte, was er an Mathematik fand, und schrieb es 1202 in seinem Liber Abaci nieder, dem Buch der Rechenkunst. Die Fibonacci-Folge steht darin auf wenigen Seiten, als eine Übungsaufgabe unter vielen.
Die Aufgabe lautet sinngemäß: Ein Kaninchenpaar wird in einen umzäunten Garten gesetzt. Jedes Paar bringt vom zweiten Monat an jeden Monat ein neues Paar zur Welt, und keines stirbt. Wie viele Paare gibt es nach einem Jahr? Die Antwort ergibt sich, indem man jeweils die beiden vorangehenden Monatszahlen addiert: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Leonardo hielt das für eine hübsche Rechenübung. Dass die Folge in Indien schon Jahrhunderte zuvor bekannt war, bei Gelehrten, die Silbenmuster in Gedichten zählten, wusste er vermutlich nicht. Ihren Namen erhielt sie erst 1877 durch den französischen Mathematiker Édouard Lucas. Bis dahin hatte niemand geahnt, wie oft sie in der Natur vorkommt.
Die Fibonacci-Folge steckt in Sonnenblumen und Tannenzapfen, weil Pflanzen neue Samen, Schuppen oder Blätter jeweils um einen festen Winkel von etwa 137,5 Grad versetzt zum vorherigen anlegen. Dieser Winkel packt die Elemente am dichtesten, und die dabei entstehenden Spiralen lassen sich in Fibonacci-Zahlen abzählen, meist 34 und 55 bei Sonnenblumen, 8 und 13 bei Tannenzapfen.
Der Winkel von 137,5 Grad heißt goldener Winkel, weil er aus dem goldenen Schnitt folgt, jenem Teilungsverhältnis von etwa 1 zu 1,618, das Künstler seit der Antike als besonders harmonisch empfinden. Und der goldene Schnitt wiederum verbirgt sich in der Fibonacci-Folge: Teilt man eine ihrer Zahlen durch die vorhergehende, nähert sich das Ergebnis mit jedem Schritt der Zahl 1,618. Die Verbindung ist also kein Zufall, sondern Geometrie. Wachsende Pflanzen legen neue Elemente an der Spitze des Sprosses dort an, wo gerade am meisten Platz ist, und der goldene Winkel ist der einzige Winkel, bei dem sich die Elemente nie in Reihen übereinanderstapeln, sondern gleichmäßig verteilen. Die französischen Physiker Stéphane Douady und Yves Couder zeigten 1992 in einem Experiment, dass sich sogar Öltröpfchen in einem Magnetfeld, die sich gegenseitig abstoßen und nacheinander auf eine Platte fallen, von selbst in diesem Winkel anordnen. Die Natur rechnet nicht, sie packt nur möglichst dicht, und die Fibonacci-Zahlen sind das Ergebnis.
Für die Zeitgenossen war die Kaninchenaufgabe nebensächlich. Der eigentliche Sprengstoff des Liber Abaci lag in seinen ersten Kapiteln, in denen Leonardo die neun indischen Ziffern und die Null vorstellte und vorrechnete, wie sich damit Preise umrechnen, Gewinne aufteilen und Zinsen berechnen lassen. Für Kaufleute war das eine Revolution, denn mit den neuen Ziffern konnte jeder auf Papier multiplizieren, der die Regeln kannte. Kaiser Friedrich II., der die Wissenschaften an seinem sizilianischen Hof förderte, wurde auf Leonardo aufmerksam. Bei einem Rechenwettstreit in Pisa im Jahr 1225 löste der Pisaner vor dem Kaiser Aufgaben, an denen andere scheiterten, und legte seine Lösungen in weiteren Schriften nieder. Von seinem Leben ist sonst wenig bekannt; die Republik Pisa zahlte ihm später ein Jahresgehalt für Beratungen in Rechenfragen. Das Archiv zur Mathematikgeschichte der Universität St Andrews fasst zusammen, was sich aus den Quellen belegen lässt.
Die Ziffern setzten sich trotzdem nur langsam durch. 1299 untersagte die Zunft der Geldwechsler in Florenz ihren Mitgliedern, Beträge in den arabischen Ziffern zu notieren; Zahlen sollten in Worten oder römisch geschrieben werden. Der Grund war weniger Aberglaube als Vorsicht: Eine 0 lässt sich mit einem Federstrich in eine 6 oder 9 verwandeln, eine 1 in eine 7, und in Geschäftsbüchern konnte das teuer werden. Römische Zahlen waren umständlich, aber schwer zu fälschen. Über zwei Jahrhunderte blieben beide Systeme nebeneinander in Gebrauch, bis der Buchdruck und die Rechenmeister der Renaissance den Ziffern zum Durchbruch verhalfen. Als Adam Ries im 16. Jahrhundert seine deutschen Rechenbücher verfasste, lehrte er noch beides, das Rechnen auf den Linien mit Rechenpfennigen und das Rechnen mit der Feder nach der neuen Art.
Die Folge hat längst den Garten verlassen. Sie beschreibt, wie sich Ananasschuppen, Blumenkohlröschen und die Kammern eines Nautilusgehäuses anordnen, wobei die berühmte Nautilusspirale dem goldenen Schnitt weniger genau folgt, als populäre Darstellungen behaupten. In der Informatik dienen Fibonacci-Zahlen zur Analyse von Suchverfahren, an den Finanzmärkten zeichnen Händler Fibonacci-Linien in Kursdiagramme, ohne dass es dafür einen physikalischen Grund gäbe. Und in Pisa steht seit dem 19. Jahrhundert eine Statue Leonardos im Camposanto neben dem Schiefen Turm, geschaffen sechs Jahrhunderte nach seinem Tod von einem Bildhauer, der sein Gesicht nicht kennen konnte.
Übrig bleibt ein Bild, das in jedem Spätsommer neu entsteht: Eine Sonnenblume neigt den Kopf, und in ihrem Zentrum drehen sich 34 Spiralen in die eine, 55 in die andere Richtung. Sie folgen einer Regel, die Pflanzen seit Jahrmillionen anwenden und die ein Kaufmann aus Pisa 1202 an Kaninchen durchrechnete, ohne zu ahnen, dass er dabei die Mathematik des Wachstums beschrieb.
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